Ensimmäiset kymmenen termiä
\(0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34\)
Fibonaccin lukujonon laskin
Laske Fibonaccin lukuja kultaisen leikkauksen yhteydellä ja lukujonon visualisoinnilla
Tutki Fibonaccin lukujonoa
Liu'uta n:ää kasvattaaksesi jonoa. Pylväskaavio näyttää F₀:sta F_n:ään; suhde F_n / F_{n-1} lähenee kultaista leikkausta φ.
Pikavalinnat
10
050
Ennusta, mitä tapahtuu
Mihin F_n / F_{n-1} lähenee, kun n kasvaa?
Seuraa kalloutia, kun liu'utat n:ää 5:stä 30:een.
Kultainen leikkaus
Peräkkäisten Fibonacci-lukujen suhde lähenee φ ≈ 1.618034. φ on yhtälön x² = x + 1 positiivinen juuri — sama rekursio, jota jono noudattaa.
Yleinen virhe
F_0 = 0 ja F_1 = 1. Jotkin lähteet aloittavat F_1 = 1, F_2 = 1; tarkista indeksointi ennen vastausten vertaamista.
Miksi se toimii
Jokainen termi on kahden edellisen summa — kahdesti rekursiivinen määritelmä. Iteratiivinen eteenpäin summaaminen välttää naiivin rekursion eksponentiaalisen paisumisen.
Tulokset
Lopullinen vastaus
\(F_{10} = 55\)
Vaiheittainen ratkaisu
- Etsi Fibonaccin termi \(F_{10}\)
- Rekursiivinen kaava \(F_n = F_{n-1} + F_{n-2},\quad F_0 = 0,\, F_1 = 1\)
- Tulos \(F_{10} = 55\)
calculators.combinatorics.fibonacci.explore.ratioCallout
Fibonaccin lukujono
Fibonaccin lukujono määritellään: F_0 = 0, F_1 = 1, ja F_n = F_{n-1} + F_{n-2} kun n ≥ 2. Se esiintyy luonnossa (auringonkukan spiraalit, käpyt, nautiluksen kuoret) ja algoritmeissa (Fibonacci-keot, dynaaminen ohjelmointi).
Binetin kaava (suljettu muoto): \(F_n = \frac{\varphi^n - (1-\varphi)^n}{\sqrt{5}}\)
\(F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\)
Laskettuja esimerkkejä
Kultaisen leikkauksen raja
\(\lim_{n\to\infty}\frac{F_n}{F_{n-1}} = \varphi \approx 1.618033\)