MathCalcLab

Pöördkeha ruumala kalkulaator

Arvutage pöördkehade ruumalad, mis tekivad kõverate pööramisel telgede ümber, kasutades ketta- ja koorikumeetodit

Näited: sqrt(x), x^2, sin(x), exp(x). Naturaalne logaritm on ln(x) ja kümnendlogaritm log(x). Rõngaste raadiused peavad rahuldama tingimust 0 ≤ r(x) ≤ R(x); koorikumeetod nõuab kogu vahemikus x ≥ 0 ja f(x) ≥ 0.

Tulemused

Sisesta väärtused ja klõpsa Arvuta, et näha tulemust.

Teooria ja valem

Pöördkeha ruumala

Kui kõver pöörleb ümber telje, moodustab see kolmemõõtmelise tahke keha. Ruumala saab arvutada ketta meetodi või koorikumeetodi abil.

Ketta meetod

Kasutatakse, kui pöörata piirkonda, mida piiravad f(x) ja x-telg. Iga ristlõige on ketas.

\(V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx\)

Rõngaste meetod

Kasutatakse, kui pöörata piirkonda kahe funktsiooni vahel. Iga ristlõige on rõngas (auguga ketas).

\(V = \pi \int_a^b ([R(x)]^2 - [r(x)]^2) \, dx\)

Koorikumeetod

Kasutatakse, kui pöörata vertikaalse telje ümber. Iga koorik on raadiusega x ja kõrgusega f(x).

\(V = 2\pi \int_a^b x \cdot f(x) \, dx\)

Näide

Leia ruumala, kui y = √x vahemikus x=0 kuni x=4 pöörleb ümber x-telje:

\(f(x) = \sqrt{x}, \quad [0, 4]\)\(V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2 \, dx = \pi \int_0^4 x \, dx\)\(V = \pi \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = \pi \cdot 8 = 8\pi \approx 25.13\)

Seotud kalkulaatorid

Määratud integraali kalkulaator

Arvuta määratud integraale numbriliselt Riemanni summa visualiseerimise ja kõvera all oleva pindala abil

Integraali kalkulaator

Arvuta määratud ja määramata integraale samm-sammult lahendustega

Tuletise kalkulaator

Arvutage funktsioonide tuletised samm-sammult lahendustega, kasutades diferentsiaalreegleid

Pöördkeha ruumala kalkulaator | MathCalcLab | MathCalcLab