Pöörlemismahu kalkulaator
Arvutage tahkete kehade mahud, mis tekivad kõverate pööramisel telgede ümber, kasutades ketta ja kestameetodeid
Näited: sqrt(x) vahemikus 0 kuni 4, x^2 vahemikus 0 kuni 2
Tulemused
Sisesta väärtused ja klõpsa Arvuta, et näha tulemust.
Teooria ja valem
Pöörlemismaht
Kui kõver pöörleb ümber telje, moodustab see kolmemõõtmelise tahke keha. Mahtu saab arvutada ketta meetodi või kestameetodi abil.
Ketta meetod
Kasutatakse, kui pöörata piirkonda, mida piiravad f(x) ja x-telg. Iga ristlõige on ketas.
\(V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx\)Pesamuna meetod
Kasutatakse, kui pöörata piirkonda kahe funktsiooni vahel. Iga ristlõige on pesamuna (ketas auguga).
\(V = \pi \int_a^b ([R(x)]^2 - [r(x)]^2) \, dx\)Kestameetod
Kasutatakse, kui pöörata vertikaalse telje ümber. Iga kest on raadiusega x ja kõrgusega f(x).
\(V = 2\pi \int_a^b x \cdot f(x) \, dx\)Näide
Leia maht, kui y = √x vahemikus x=0 kuni x=4 pöörleb ümber x-telje:
\(f(x) = \sqrt{x}, \quad [0, 4]\)\(V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2 \, dx = \pi \int_0^4 x \, dx\)\(V = \pi \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = \pi \cdot 8 = 8\pi \approx 25.13\)