Astmereegel parabooli puhul
\(\int_0^2 x^2\,dx = \frac{x^3}{3}\Big|_0^2 = \frac{8}{3} \approx 2.667\)
Integraali kalkulaator
Arvuta määramata ja määratud integraale samm-sammult lahendustega
Uuri määratud integraali
Sisesta funktsioon x-is või vali eelseadistus, seejärel liiguta alumist (a) ja ülemist (b) raja. Varjutatud ala kõvera f(x) all on märgiline pindala, mis võrdub F(b) − F(a).
0.00
-10.0010.00
2.00
-10.0010.00
Toetatud on polünoomid, sin/cos/exp lineaarsete argumentidega ja 1/x. Kasuta x-i muutujana. ln(x) on naturaallogaritm, log(x) kümnendlogaritm.
Tavalised integraalid
Ennusta, mis juhtub
Mis juhtub avaldisega ∫ₐᵇ f(x) dx, kui vahetad a ja b?
Proovi parabooli eelseadistusega a = 2, b = 0, seejärel a = 0, b = 2.
Märgiline pindala
Integraal on MÄRGILINE pindala kõvera ja x-telje vahel: x-telje all olevad alad annavad negatiivse panuse. Kui f(x) on lõigul [a, b] alati positiivne, võrdub integraal geomeetrilise pindalaga.
Levinud viga
Määramata integraalides ära unusta integreerimiskonstanti C. Määratud integraalides C taandub — F(b) − F(a) ei sõltu C-st.
Miks see töötab (FTC)
Diferentsiaal- ja integraalarvutuse põhiteoreem ühendab diferentseerimise ja integreerimise: kui F'(x) = f(x), siis ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Integreerimine koondab muutuse; diferentseerimine mõõdab muutuse kiirust.
Tulemused
Lõplik vastus
\(\int_{0}^{2} { x}^{2} \,dx = 2.666667\)
Lahendus samm-sammult
- Määratud integraal: \(\int_{0}^{2} { x}^{2} \,dx\)
- Leia algfunktsioon liige liikme haaval:
- Algfunktsioon: \(F(x) = \frac{{ x}^{3}}{3} + C\)
- Rakenda diferentsiaal- ja integraalarvutuse põhiteoreem: \(F(2) - F(0) = 2.666667 - (0) = 2.666667\)
Määramata algfunktsioon: \(\int { x}^{2} \,dx = \frac{{ x}^{3}}{3} + C\)
Teooria ja valem
Integreerimine on diferentseerimise pöördprotsess. See leiab funktsiooni algfunktsiooni, mis kujutab kõvera all olevat pindala.
Diferentsiaal- ja integraalarvutuse põhiteoreem: \(\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\)
Kui F on f mistahes algfunktsioon lõigul [a, b], siis ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Diferentseerimine tühistab integreerimise; integreerimine koondab diferentseerimise mõõdetud muutust.
\(\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\)
Lahendatud näited
Siinus poole perioodi ulatuses
\(\int_0^{\pi} \sin(x)\,dx = -\cos(x)\Big|_0^{\pi} = 2\)
Seotud kalkulaatorid
Tuletise kalkulaator
Arvutage funktsioonide tuletised samm-sammult lahendustega, kasutades diferentsiaalreegleid
Piirväärtuse kalkulaator
Arvuta funktsioonide piirväärtused kindlates punktides või lõpmatuses samm-sammuliste lahendustega
Ridade kalkulaator
Uurige lõpmatute ridade koonduvust ja arvutage osasummad