Määratud integraali kalkulaator
Arvuta määratud integraale arvuliselt Riemanni summa visualiseerimisega ja kõvera all oleva alaga
Sisesta funktsioon kasutades x muutujana. Toetatud: +, -, *, /, ^, sin, cos, tan, exp, ln, sqrt, abs
Tulemused
Sisesta väärtused ja klõpsa Arvuta, et näha tulemust.
Theory & Formula
Teooria
Määratud integraal ∫[a,b] f(x) dx esindab märgitud ala kõvera f(x) ja x-telje vahel x=a kuni x=b. Sellel on rakendusi füüsikas (töö, vahemaa), tõenäosuses (kumulatiivne jaotus) ja paljudes teistes valdkondades.
Matemaatilise analüüsi põhiteoreem
\(\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)\)
Kus F(x) on mis tahes f(x) algfunktsioon. See ühendab diferentseerimise ja integreerimise.
Trapetsi reegel
\(\int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{h}{2} \left[ f(a) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(b) \right]\)
Lähendab ala trapetside abil. Täpsem suurema n-ga.
Simpsoni reegel
\(\int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(a) + 4\sum_{i=1,3,5}^{n-1} f(x_i) + 2\sum_{i=2,4,6}^{n-2} f(x_i) + f(b) \right]\)
Lähendab paraboolsete kaarte abil. Üldiselt täpsem kui trapetsi reegel.
Näide
Arvuta ∫[0,2] x² dx kasutades põhiteoreemi:
\(\int_0^2 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \frac{8}{3} - 0 = 2.667\)