Potenssisääntö paraabelilla
\(\int_0^2 x^2\,dx = \frac{x^3}{3}\Big|_0^2 = \frac{8}{3} \approx 2.667\)
Integraalilaskin
Laske määräämättömät ja määrätyt integraalit vaihe vaiheelta
Tutki määrättyä integraalia
Anna x:n funktio tai valitse esiasetus, vedä sitten alarajaa (a) ja ylärajaa (b). Käyrän f(x) alle jäävä varjostettu alue on etumerkillinen pinta-ala, joka on yhtä kuin F(b) − F(a).
0.00
-10.0010.00
2.00
-10.0010.00
Tuettu: polynomit, sin/cos/exp lineaarisilla argumenteilla ja 1/x. Käytä x:ää muuttujana. ln(x) on luonnollinen logaritmi, log(x) kymmenkantainen logaritmi.
Tavallisia integraaleja
Ennusta, mitä tapahtuu
Mitä tapahtuu, kun vaihdat a:n ja b:n integraalissa ∫ₐᵇ f(x) dx?
Kokeile paraabeli-esiasetuksella a = 2, b = 0, sitten a = 0, b = 2.
Etumerkillinen pinta-ala
Integraali on ETUMERKILLINEN pinta-ala käyrän ja x-akselin välillä: x-akselin alle jäävät alueet vaikuttavat negatiivisesti. Jos f(x) on aina positiivinen välillä [a, b], integraali on geometrinen pinta-ala.
Yleinen virhe
Älä unohda integrointivakiota C määräämättömissä integraaleissa. Määrätyissä integraaleissa C kumoutuu — F(b) − F(a) on sama riippumatta C:stä.
Miksi se toimii (analyysin peruslause)
Analyysin peruslause yhdistää derivoinnin ja integroinnin: jos F'(x) = f(x), niin ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Integrointi kokoaa muutoksen; derivointi mittaa muutosnopeuden.
Tulokset
Lopullinen vastaus
\(\int_{0}^{2} { x}^{2} \,dx = 2.666667\)
Vaiheittainen ratkaisu
- Määrätty integraali: \(\int_{0}^{2} { x}^{2} \,dx\)
- Etsi integraalifunktio termi kerrallaan:
- Integraalifunktio: \(F(x) = \frac{{ x}^{3}}{3} + C\)
- Käytä analyysin peruslausetta: \(F(2) - F(0) = 2.666667 - (0) = 2.666667\)
Määräämätön integraalifunktio: \(\int { x}^{2} \,dx = \frac{{ x}^{3}}{3} + C\)
Teoria ja kaava
Integrointi on derivoinnin käänteisoperaatio. Se etsii funktion integraalifunktion, joka kuvaa käyrän alle jäävää pinta-alaa.
Analyysin peruslause: \(\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\)
Jos F on f:n integraalifunktio välillä [a, b], niin ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Derivointi kumoaa integroinnin; integrointi kokoaa derivoinnin mittaaman muutoksen.
\(\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\)
Laskettuja esimerkkejä
Sini puolelta jaksolta
\(\int_0^{\pi} \sin(x)\,dx = -\cos(x)\Big|_0^{\pi} = 2\)
Aiheeseen liittyvät laskimet
Derivointilaskin
Laske funktioiden derivaatat vaihe vaiheelta käyttäen derivointisääntöjä
Raja-arvolaskin
Laske funktioiden raja-arvot tietyissä pisteissä tai äärettömyydessä vaihe vaiheelta
Sarjalaskin
Laske äärettömiä sarjoja, mukaan lukien aritmeettiset, geometriset ja mukautetut sarjat vaihe vaiheelta ratkaisuineen