例
\(v_0 = 30, \theta = 45^{\circ}, h_0 = 0, g = 9.8 \rightarrow R \approx 91.84\,\text{m}\)
投射運動計算機
投射運動の軌道、射程、最高高度、飛行時間を段階的な解法で計算します
弾道を探検しよう
初速度、角度、初期高さ、重力加速度を動かして、放物線がどう変わるかを観察しよう。
クイック設定
30 m/s
1100
45 °
090
0.0 m
0.050.0
9.80 m/s²
1.0025.00
何が起こるか予想してみよう
地表から発射する場合、最も射程が長くなる角度は?
v₀, h₀, g を一定に保ちながら 30°、45°、60° を試してみよう。
気づこう
水平運動は等速 (発射後は水平方向の力なし)、鉛直運動は加速度 −g の等加速度運動。両者は独立で、合わさって放物線になる。
よくある誤り
射程 = v₀² sin(2θ) / g は h₀ = 0 のときだけ成り立つ。初期高さが 0 でないときは、まず飛行時間の 2 次方程式を解き、その後 v₀ₓ を掛ける必要がある。
なぜ成り立つの
v₀ を v₀ₓ = v₀ cos θ と v₀ᵧ = v₀ sin θ に分解する。各成分はそれぞれの方程式に従って独立に発展し、(x(t), y(t)) が描く曲線が軌道になる。
結果
最終答え
射程 = 91.84 m · 最高点 = 22.96 m · 飛行時間 = 4.33 s
Velocity components
\(v_{0x} = v_0\cos\theta = 21.21\,\text{m/s}\) · \(v_{0y} = v_0\sin\theta = 21.21\,\text{m/s}\)
理論と公式
投射運動は、重力のみを受けて空中に投げられたり投射されたりする物体の運動です。放物線の軌道をたどります。
主要な方程式: \(x(t) = v_0\cos\theta \cdot t\), \(y(t) = h_0 + v_0\sin\theta \cdot t - \tfrac{1}{2}g t^2\)
初期高さがない場合の最大射程のための最適発射角度は45°です。
\(R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g},\quad h_{\max} = h_0 + \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g}\)
解説付き例題
外部の教育リソース
PhET で弾道を探検
PhET の Projectile Motion シミュレーションを開いて、質量・空気抵抗・高さ・角度を変えながら軌道がリアルタイムで動くのを見てみよう。
PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder