Regola della potenza su una parabola
\(\int_0^2 x^2\,dx = \frac{x^3}{3}\Big|_0^2 = \frac{8}{3} \approx 2.667\)
Calcolatore di Integrali
Calcola integrali indefiniti e definiti con soluzioni passo-passo
Esplora l'integrale definito
Inserisci una funzione in x o scegli un preset, poi trascina il limite inferiore (a) e superiore (b). L'area ombreggiata sotto f(x) è l'area con segno, pari a F(b) − F(a).
0.00
-10.0010.00
2.00
-10.0010.00
Supportati: polinomi, sin/cos/exp con argomenti lineari e 1/x. Usa x come variabile.
Integrali comuni
Prevedi cosa accadrà
Cosa accade a ∫ₐᵇ f(x) dx se scambi a e b?
Prova a = 2, b = 0 con il preset della parabola, poi a = 0, b = 2.
Area con segno
L'integrale è l'area CON SEGNO tra la curva e l'asse x: le regioni sotto l'asse contribuiscono negativamente. Se f(x) è sempre positivo su [a, b], l'integrale coincide con l'area geometrica.
Errore comune
Non dimenticare la costante di integrazione C negli integrali indefiniti. Negli integrali definiti C si elide — F(b) − F(a) non dipende da C.
Perché funziona (FTC)
Il teorema fondamentale del calcolo collega derivazione e integrazione: se F'(x) = f(x), allora ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). L'integrazione accumula il cambiamento; la derivazione ne misura la velocità.
Risultati
Risposta finale
\(\int_{0}^{2} x ^ 2 \,dx = 2.666667\)
Soluzione passo dopo passo
- Integrale definito: \(\int_{0}^{2} x ^ 2 \,dx\)
- Trova l'antiderivata termine per termine:
- ∫ \(x ^ 2\) dx = \(x ^ 3 / 3\)
- Antiderivata: \(F(x) = x ^ 3 / 3 + C\)
- Applica il teorema fondamentale del calcolo: \(F(2) - F(0) = 2.666667 - (0) = 2.666667\)
Antiderivata indefinita: \(\int x ^ 2 \,dx = x ^ 3 / 3 + C\)
Teoria e Formula
L'integrazione è il processo inverso della derivazione. Trova la primitiva di una funzione, rappresentando l'area sotto una curva.
Teorema fondamentale del calcolo: \(\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\)
Se F è un'antiderivata di f su [a, b], allora ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). La derivazione annulla l'integrazione; l'integrazione accumula il cambiamento misurato dalla derivata.
\(\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\)
Esempi Risolti
Seno su mezzo periodo
\(\int_0^{\pi} \sin(x)\,dx = -\cos(x)\Big|_0^{\pi} = 2\)
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