Aritmetica
\(1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}\)
Calcolatore di Serie
Calcola la convergenza di serie infinite e somme parziali
Risultati
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Teoria e Formula
Una serie è la somma dei termini di una successione. Diversi tipi di serie hanno proprietà e formule diverse per le loro somme.
Tipi di serie comuni:
- Aritmetica: S_n = (n/2)(2a + (n-1)d) dove a è il primo termine, d è la ragione
- Geometrica: S_n = a(1-r^n)/(1-r) dove a è il primo termine, r è la ragione
- Geometrica infinita: S = a/(1-r) per |r| < 1 (convergente)
- Somme di potenze: ∑n = n(n+1)/2, ∑n² = n(n+1)(2n+1)/6
- Serie armonica: ∑1/n diverge (cresce illimitatamente)
\(S_n = \sum_{i=1}^{n} a_i\)
Esempi Risolti
Geometrica
\(1 + r + r^2 + \cdots = \frac{1}{1-r}, \quad |r| < 1\)
Somma di potenze
\(1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
Formula aritmetica
\(S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\)