MathCalcLab

Sekoituspermutaatioiden laskin

Laske sekoituspermutaatioiden (permutaatioiden, joilla ei ole kiintopisteitä) määrä ja analysoi alifaktoriaalifunktio.

Anna luku väliltä 0–20 sekoituspermutaatioiden laskemiseksi. Sekoituspermutaatiot ovat permutaatioita, joissa mikään alkio ei ole alkuperäisellä paikallaan.

Tulokset

Syötä arvot ja napsauta Laske nähdäksesi tuloksen.

Teoria ja kaava

Sekoituspermutaatioiden teoria

Sekoituspermutaatio on permutaatio, jossa mikään alkio ei ole alkuperäisellä paikallaan. n alkion sekoituspermutaatioiden lukumäärää merkitään !n (n:n alifaktoriaali).

Keskeiset kaavat

Sarjan kaava: \(!n = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}\)
Rekursiivinen kaava: \(!n = (n-1)(!(n-1) + !(n-2)) \quad(n \ge 2),\quad !0=1,\quad !1=0\)
Likiarvo: \(!n \sim \frac{n!}{e} \quad(n \to \infty)\)

Todennäköisyys

Todennäköisyys, että satunnainen permutaatio on sekoituspermutaatio, lähestyy arvoa 1/e ≈ 36,8 %, kun n kasvaa.

\(\lim_{n \to \infty} \frac{!n}{n!} = \frac{1}{e} \approx 0.367879\)

Sovellukset

Narikkaongelma: n henkilöä jättää hattunsa narikkaan, ja hatut palautetaan satunnaisesti. Mikä on todennäköisyys, ettei kukaan saa omaa hattuansa takaisin? Vastaus: !n/n! ≈ 1/e.

Esimerkki

Kun n=3: !3 = 2. Permutaatiot [2,3,1] ja [3,1,2] ovat jonon [1,2,3] ainoat sekoituspermutaatiot.

Aiheeseen liittyvät laskimet

Kombinaatiot ja permutaatiot

Laske kombinaatiot C(n,r), permutaatiot P(n,r) ja kertomat n!

Catalan-lukujen laskin

Laske Catalan-lukuja, joita käytetään kombinatoriikassa ja binääripuissa

Binomikerroinlaskin

Laske binomikertoimet C(n,k) Pascalin kolmion visualisoinnilla ja ominaisuuksilla

Sekoituspermutaatioiden laskin | MathCalcLab | MathCalcLab