MathCalcLab
Kieli

Derangemanttien laskin

Laske derangemanttien (permutaatioiden, joilla ei ole kiinteitä pisteitä) määrä ja analysoi alifaktoriaalifunktio.

Anna luku väliltä 0–20 derangemanttien laskemiseksi. Derangemantit ovat permutaatioita, joissa mikään alkio ei ole alkuperäisessä paikassaan.

Tulokset

Syötä arvot ja napsauta Laske nähdäksesi tuloksen.

Teoria ja kaava

Derangointiteoria

Derangointi on permutaatio, jossa mikään alkio ei ole alkuperäisellä paikallaan. n alkion derangointien lukumäärää merkitään !n (n:n alifaktoriaali).

Keskeiset kaavat

Sarjan kaava: \(!n = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}\)
Rekursiivinen kaava: \(!n = (n-1)(!(n-1) + !(n-2))\)
Lähennysarvo: \(!n \approx \frac{n!}{e}\) for large n

Todennäköisyys

Todennäköisyys, että satunnainen permutaatio on derangementti, lähestyy arvoa 1/e ≈ 36,8 % kun n kasvaa.

\(\lim_{n \to \infty} \frac{!n}{n!} = \frac{1}{e} \approx 0.367879\)

Sovellukset

Hattutarkastusongelma: n henkilöä jättää hattunsa tarkastukseen, ja hatut palautetaan satunnaisesti. Mikä on todennäköisyys, ettei kukaan saa omaa hattuansa takaisin? Vastaus: !n/n! ≈ 1/e.

Esimerkki

Kun n=3: !3 = 2. Permutaatiot [2,3,1] ja [3,1,2] ovat ainoat derangementit joukosta [1,2,3].

Aiheeseen liittyvät laskimet

Combinations & Permutations

Calculate combinations, permutations, and factorials

Catalan Numbers

Calculate Catalan numbers and applications

Binomial Coefficient

Calculate binomial coefficients and Pascal's triangle

Derangements Calculator | Subfactorial & Hat-Check Problem | MathCalcLab | MathCalcLab