Mündiviskamise näide
\(n=10, p=0.5, k=7 \rightarrow P(7) \approx 11.7\%\)
Binomiaaljaotus
Arvuta binomiaalset tõenäosust ja kumulatiivseid tõenäosusi
Uuri binoomjaotust
Liiguta n (katsete arv), p (õnnestumise tõenäosus) ja k (esiletõstetav tulemus). Riba k juures muutub roheliseks, ülejäänud osa jääb halliks.
Kiirvalikud
10
150
0.50
0.001.00
5
010
Ennusta, mis juhtub
Kuidas erineb tulpdiagramm, kui p ≈ 0,5 võrreldes p ≈ 0,05 sama n korral?
Vaheta eelseadistuste „Aus münt" ja „Haruldane sündmus" vahel ja vaata kuju.
Pane tähele
Keskväärtus on np: kui p = 0,5 ja n = 10, on tipp k = 5 juures; kui p = 0,7 ja n = 20, nihkub tipp ≈ 14 juurde. Dispersioon kasvab koos n-iga ja on suurim p = 0,5 juures.
Levinud viga
P(X = k) ei ole sama mis P(X ≤ k). Diagramm näitab tõenäosusfunktsiooni (täpselt k); kumulatiivsed tõenäosused liidavad ribad 0-st k-ni.
Miks see töötab
Iga katse on sõltumatu Bernoulli proov. Korrutades p^k arvuga (1 − p)^(n − k), saame ühe konkreetse järjestuse tõenäosuse; binoomkordaja loendab, mitu sellist järjestust annab täpselt k õnnestumist.
Mõistekontroll
Milline neist olukordadest sobib tegelikult binoommudelisse?
Tulemused
Lõplik vastus
\(P(X = 5) = 24.61\%\)
Lahendus samm-sammult
- Antud: \(n = 10\), \(p = 0.50\), \(k = 5\)
- Binoomkordaja: \(\binom{10}{5} = \frac{10!}{5!\,(10-5)!} = 252\)
- Binoomjaotuse PMF: \(P(X=k) = \binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k}\)
- Asenda ja arvuta: \(P(X=5) = 252 \times 0.50^{5} \times 0.50^{5} = 0.246094\)
P(X ≤ 5)
62.30%
P(X ≥ 5)
62.30%
Keskmine / σ
μ = 5.00, σ = 1.58
Binoomjaotus
Binoomjaotus loeb õnnestumiste arvu fikseeritud arvu n sõltumatutes Bernoulli katsetes, igaühes sama õnnestumise tõenäosusega p.
Kehtib siis, kui kõik neli tingimust on täidetud:
- Fikseeritud katsete arv n.
- Igal katsel on ainult kaks tulemust (õnnestumine / ebaõnnestumine).
- Kõik katsed on sõltumatud.
- Õnnestumise tõenäosus p on iga katse jaoks sama.
Jaotuse parameetrid: \(\mu = np\), \(\sigma^2 = np(1-p)\), \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\)
\(P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\)
Lahendatud näited
Kvaliteedikontrolli näide
\(n=20, p=0.1, k=2 \rightarrow P(2) \approx 28.5\%\)