Kaks reaalset nullkohta
\(x^2 - 5x + 6 = 0 \rightarrow x_1 = 3, x_2 = 2\)
Ruutfunktsiooni lahendaja
Lahenda ruutvõrrandeid reaalarvuliste ja komplekslahendustega
Uuri parabooli ax² + bx + c
Liiguta liugureid a, b, c. Vaata, kuidas parabool nihkub, skaleerub ja peegeldub – ning kuidas nullkohad ja tipp sellele reageerivad.
Kiirvalikud
1.00
-3.003.00
-5.00
-10.0010.00
6.00
-10.0010.00
Ennusta, mis juhtub
Mis juhtub parabooliga, kui a muutub negatiivseks?
Liiguta a väärtusest 1 väärtusele −1, kui b = 0 ja c = 4.
Pane tähele
Diskriminant Δ = b² − 4ac otsustab kõik: positiivne tähendab kahte reaalset nullkohta, null tähendab ühte (kahekordset), negatiivne tähendab, et reaaltelgel nullkohti pole.
Levinud viga
Ära kaota märki: valemis on −b, mitte b. Märk ± käib ruutjuure ette, mitte b ette.
Miks see töötab
Tipp asub kohas x = −b / (2a) – sümmeetriatelg. Reaalsed nullkohad on tipust kummalgi pool kaugusel √Δ / (2a).
Mõistekontroll
Kui diskriminant b² − 4ac on positiivne, mitu reaalset nullkohta on võrrandil?
Tulemused
Lõplik vastus
\(x_1 = 3.0000\), \(x_2 = 2.0000\)
Lahendus samm-sammult
- Antud võrrand: \(1.00x^2 -5.00x + 6.00 = 0\)
- Kasutades ruutvõrrandi valemit: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
- Arvutage diskriminant: \(\Delta = -5.00^2 - 4(1.00)(6.00) = 1.00\)
- Kaks reaalarvulist lahendit: \(x_1 = 3.0000\), \(x_2 = 2.0000\)
Diskriminant
\(\Delta = 1.00\)
Tipp
\((2.50, -0.25)\)
Teooria ja valem
Ruutfunktsiooni võrrand on astmega 2 polünoomvõrrand üldkujul ax² + bx + c = 0, kus a ≠ 0.
Ruutfunktsiooni valem annab lahendi(d) igale ruutvõrrandile. Diskriminant (b² - 4ac) määrab juurte olemuse:
- Δ > 0: Kaks erinevat reaalset juurt
- Δ = 0: Üks reaalne juur (kahekordne juur)
- Δ < 0: Kaks komplekskonjugaati juurt
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
Lahendatud näited
Üks reaalne nullkoht (kahekordne)
\(x^2 - 4x + 4 = 0 \rightarrow x = 2\) (double root)
Kompleksed nullkohad
\(x^2 + x + 1 = 0 \rightarrow\) complex
Väline õppematerjal
Uuri ruutfunktsioone PhET-is
Ava PhETi simulatsioon "Graphing Quadratics", et lohistada kordajaid, näha nullkohti ja tippu ning oma intuitsiooni kontrollida.
PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder