Kaks reaalset nullkohta
\(x^2 - 5x + 6 = 0 \rightarrow x_1 = 3, x_2 = 2\)
Ruutvõrrandi lahendaja
Lahenda ruutvõrrandeid reaalarvuliste ja komplekslahendustega
Uuri parabooli ax² + bx + c
Liiguta liugureid a, b, c. Vaata, kuidas parabool nihkub, skaleerub ja peegeldub – ning kuidas nullkohad ja tipp sellele reageerivad.
Kiirvalikud
1.00
-3.003.00
-5.00
-10.0010.00
6.00
-10.0010.00
Ennusta, mis juhtub
Mis juhtub parabooliga, kui a muutub negatiivseks?
Liiguta a väärtusest 1 väärtusele −1, kui b = 0 ja c = 4.
Pane tähele
Kui a ≠ 0, määrab diskriminant Δ = b² − 4ac juurte arvu: positiivsel juhul on kaks erinevat reaalset juurt, nulli korral kahekordne reaalne juur ja negatiivsel juhul reaalsed juured puuduvad.
Levinud viga
Ära kaota märki: valemis on −b, mitte b. Märk ± käib ruutjuure ette, mitte b ette.
Miks see töötab
Kui a ≠ 0, asub haripunkt kohal x = −b/(2a). Kui Δ ≥ 0, on iga reaalse juure kaugus sellest teljest √Δ/(2|a|).
Mõistekontroll
Kui a ≠ 0 ja diskriminant b² − 4ac on positiivne, mitu reaalset juurt on võrrandil?
Tulemused
Lõplik vastus
\(x_1 = 3.0000\), \(x_2 = 2.0000\)
Lahendus samm-sammult
- Antud võrrand: \(1.0000x^2 -5.0000x + 6.0000 = 0\)
- Kasutades ruutvõrrandi valemit: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
- Arvutage diskriminant: \(\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 1\)
- Kaks reaalarvulist lahendit: \(x_1 = 3.0000\), \(x_2 = 2.0000\)
Diskriminant
\(\Delta = 1\)
Tipp
\((2.5000, -0.2500)\)
Teooria ja valem
Ruutvõrrand on teise astme polünoomvõrrand üldkujul ax² + bx + c = 0, kus a ≠ 0.
Ruutvõrrandi lahendivalem annab lahendi(d) igale ruutvõrrandile. Diskriminant (b² - 4ac) määrab juurte olemuse:
- Δ > 0: Kaks erinevat reaalset juurt
- Δ = 0: Üks reaalne juur (kahekordne juur)
- Δ < 0: Kaks kaaskompleksset juurt
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
Lahendatud näited
Üks reaalne nullkoht (kahekordne)
\(x^2 - 4x + 4 = 0 \rightarrow x = 2\): Üks reaalne juur (kahekordne juur)
Kompleksed nullkohad
\(x^2 + x + 1 = 0\): Kaks kaaskompleksset juurt
Väline õppematerjal
Uuri ruutfunktsioone PhET-is
Ava PhETi simulatsioon "Graphing Quadratics", et lohistada kordajaid, näha nullkohti ja tippu ning oma intuitsiooni kontrollida.
PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder