Beispiel 1
\(60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5\)
Primfaktorzerlegung
Faktorisieren Sie Zahlen in Primkomponenten mit detaillierter Schritt-für-Schritt-Aufschlüsselung
Ergebnisse
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Primfaktorzerlegung
Die Primfaktorzerlegung schreibt eine ganze Zahl als Produkt von Primzahlen. Diese Darstellung ist für jede ganze Zahl größer als 1 eindeutig, abgesehen von der Reihenfolge der Faktoren.
Wichtige Begriffe
- Primzahl: eine Zahl größer als 1 mit genau zwei positiven Teilern, 1 und der Zahl selbst.
- Zusammengesetzte Zahl: eine Zahl größer als 1, die weitere Faktoren außer 1 und sich selbst hat.
- Fundamentalsatz der Arithmetik: Jede ganze Zahl größer als 1 besitzt eine eindeutige Primfaktorzerlegung.
- Faktorbaum-Methode: Zusammengesetzte Zahlen werden wiederholt in Faktorpaare zerlegt, bis alle Blätter Primzahlen sind.
Anwendungen
- Bestimmung von größtem gemeinsamen Teiler und kleinstem gemeinsamen Vielfachen.
- Vereinfachung von Brüchen durch Kürzen gemeinsamer Faktoren.
- Verstehen, warum große Primfaktoren in der Kryptografie wichtig sind.
- Lösen zahlentheoretischer Aufgaben zu Teilbarkeit und Faktoren.
Methode
- Beginnen Sie mit der Zahl, die faktorisiert werden soll.
- Teilen Sie durch den kleinsten passenden Primfaktor.
- Wiederholen Sie dies mit dem verbleibenden Quotienten, bis er prim ist.
- Schreiben Sie das Produkt aller Primfaktoren und fassen Sie wiederholte Faktoren als Potenzen zusammen.
Gelöste Beispiele
Beispiel 2
\(144 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^4 \times 3^2\)
Beispiel 3
\(17 \text{ is prime, so } 17 = 17\)