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Reihen-Rechner

Berechnen Sie die Konvergenz von unendlichen Reihen und Partialsummen

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Eine Reihe ist die Summe der Glieder einer Folge. Verschiedene Reihentypen besitzen unterschiedliche Eigenschaften und Summenformeln.

Häufige Reihentypen:

Arithmetisch: S_n = (n/2)(2a + (n−1)d), wobei a das erste Glied und d die Differenz ist
Geometrisch: S_n = a(1−r^n)/(1−r), wobei a das erste Glied und r der Quotient ist
Unendliche geometrische Reihe: S = a/(1−r) für |r| < 1 (konvergent)
Potenzsummen: ∑n = n(n+1)/2, ∑n² = n(n+1)(2n+1)/6
Harmonische Reihe: ∑1/n divergiert (wächst unbeschränkt)

\(S_n = \sum_{i=1}^{n} a_i\)

Arithmetisch

\(1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}\)

Geometrisch

\(1 + r + r^2 + \cdots = \frac{1}{1-r}\) for \(|r| < 1\)

Potenzsumme

\(1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

Arithmetische Formel

\(S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\)