Seno (Maclaurin)
\(\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\)
Serie di Taylor
Trova gli sviluppi in serie di Taylor e Maclaurin delle funzioni
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Teoria e Formula
Una serie di Taylor rappresenta una funzione come somma infinita di termini calcolati dalle derivate della funzione in un singolo punto. Quando è centrata in x = 0, è chiamata serie di Maclaurin.
Proprietà chiave:
- Approssimazione polinomiale: le serie di Taylor approssimano funzioni regolari usando polinomi
- Convergenza: la serie converge entro il raggio di convergenza
- Termine di errore: Resto R_n = f^(n+1)(c)(x-a)^(n+1)/(n+1)! per qualche c tra a e x
- Applicazioni: utilizzato in analisi numerica, fisica, ingegneria per approssimazioni
- Serie comuni: sin(x), cos(x), e^x, ln(1+x), (1+x)^n hanno tutti semplici sviluppi di Taylor
\(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\)
Esempi Risolti
Coseno (Maclaurin)
\(\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\)
Esponenziale (Maclaurin)
\(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\)
Logaritmo naturale
\(\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots\)
Calcolatrici correlate
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Calcolatore di limiti
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