Esempio del lancio di moneta
\(n=10, p=0.5, k=7 \rightarrow P(7) \approx 11.7\%\)
Distribuzione Binomiale
Calcola probabilità binomiali e probabilità cumulative
Esplora la distribuzione binomiale
Trascina n (prove), p (probabilità di successo) e k (l'esito evidenziato). La barra in k diventa verde; il resto della PMF resta grigio.
Impostazioni rapide
10
150
0.50
0.001.00
5
010
Prevedi cosa accadrà
Come differisce l'istogramma con p ≈ 0,5 rispetto a p ≈ 0,05 a parità di n?
Alterna tra i preset „Moneta equa" e „Evento raro" e osserva la forma.
Nota
La media è np: con p = 0,5 e n = 10 il picco è a k = 5; con p = 0,7 e n = 20 il picco si sposta a ≈ 14. La varianza cresce con n ed è massima a p = 0,5.
Errore comune
P(X = k) non è uguale a P(X ≤ k). Il grafico mostra la PMF (esattamente k); le probabilità cumulative sommano le barre da 0 a k.
Perché funziona
Ogni prova è un'estrazione di Bernoulli indipendente. Moltiplicare p^k per (1 − p)^(n − k) dà la probabilità di una sequenza specifica; il coefficiente binomiale conta quante sequenze danno esattamente k successi.
Verifica concetto
Quale di questi scenari si adatta davvero al modello binomiale?
Risultati
Risposta finale
\(P(X = 5) = 24.61\%\)
Soluzione passo dopo passo
- Dato: \(n = 10\), \(p = 0.50\), \(k = 5\)
- Coefficiente binomiale: \(\binom{10}{5} = \frac{10!}{5!\,(10-5)!} = 252\)
- PMF binomiale: \(P(X=k) = \binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k}\)
- Sostituisci e calcola: \(P(X=5) = 252 \times 0.50^{5} \times 0.50^{5} = 0.246094\)
P(X ≤ 5)
62.30%
P(X ≥ 5)
62.30%
Media / σ
μ = 5.00, σ = 1.58
Distribuzione binomiale
La distribuzione binomiale conta il numero di successi in un numero fisso n di prove di Bernoulli indipendenti, ciascuna con la stessa probabilità di successo p.
Vale quando tutte e quattro le condizioni sono soddisfatte:
- Un numero fisso di prove n.
- Ogni prova ha solo due esiti (successo / insuccesso).
- Tutte le prove sono indipendenti.
- La probabilità di successo p è la stessa per ogni prova.
Parametri della distribuzione: \(\mu = np\), \(\sigma^2 = np(1-p)\), \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\)
\(P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\)
Esempi Risolti
Esempio di controllo qualità
\(n=20, p=0.1, k=2 \rightarrow P(2) \approx 28.5\%\)