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Calcolatore di dismutazioni

Calcola il numero di dismutazioni (permutazioni senza punti fissi) e analizza la funzione subfattoriale.

Inserisci un numero tra 0 e 20 per calcolare le dismutazioni. Le dismutazioni sono permutazioni in cui nessun elemento appare nella sua posizione originale.

Risultati

Inserisci i valori e clicca su Calcola per vedere il risultato.

Teoria e Formula

Teoria delle dismutazioni

Una dismutazione è una permutazione in cui nessun elemento appare nella sua posizione originale. Il numero di dismutazioni di n elementi è indicato con !n (subfattoriale di n).

Formule Chiave

Formula della Serie: \(!n = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}\)
Formula Ricorsiva: \(!n = (n-1)(!(n-1) + !(n-2)) \quad(n \ge 2),\quad !0=1,\quad !1=0\)
Approssimazione: \(!n \sim \frac{n!}{e} \quad(n \to \infty)\)

Probabilità

La probabilità che una permutazione casuale sia una dismutazione tende a 1/e ≈ 36,8% al crescere di n.

\(\lim_{n \to \infty} \frac{!n}{n!} = \frac{1}{e} \approx 0.367879\)

Applicazioni

Il problema dei cappelli: n persone consegnano i loro cappelli, che vengono restituiti casualmente. Qual è la probabilità che nessuno riceva indietro il proprio cappello? Risposta: !n/n! ≈ 1/e.

Esempio

Per n=3: !3 = 2. Le permutazioni [2,3,1] e [3,1,2] sono le uniche dismutazioni di [1,2,3].

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