MathCalcLab

Püsipunktita permutatsioonide kalkulaator

Arvutage püsipunktita permutatsioonide arv ja uurige subfaktoriaali.

Sisestage arv vahemikus 0 kuni 20, et arvutada püsipunktita permutatsioonide arv. Püsipunktita permutatsioonid on permutatsioonid, kus ükski element ei ole oma algses asendis.

Tulemused

Sisesta väärtused ja klõpsa Arvuta, et näha tulemust.

Teooria ja valem

Püsipunktita permutatsioonide teooria

Püsipunktita permutatsioon on permutatsioon, kus ükski element ei asu oma algses positsioonis. n elemendi püsipunktita permutatsioonide arvu tähistatakse !n (arvu n subfaktoriaal).

Olulised valemid

Summavalem: \(!n = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}\)
Rekursiivne valem: \(!n = (n-1)(!(n-1) + !(n-2)) \quad(n \ge 2),\quad !0=1,\quad !1=0\)
Ligikaudne väärtus: \(!n \sim \frac{n!}{e} \quad(n \to \infty)\)

Tõenäosus

Tõenäosus, et juhuslik permutatsioon on püsipunktita, läheneb n suurenedes väärtusele 1/e ≈ 36,8%.

\(\lim_{n \to \infty} \frac{!n}{n!} = \frac{1}{e} \approx 0.367879\)

Rakendused

Mütsi tagastamise probleem: n inimest paneb mütsid hoiule ja mütsid tagastatakse juhuslikult. Milline on tõenäosus, et keegi ei saa oma mütsi tagasi? Vastus: !n/n! ≈ 1/e.

Näide

Kui n=3: !3 = 2. Permutatsioonid [2,3,1] ja [3,1,2] on hulga [1,2,3] ainsad püsipunktita permutatsioonid.

Seotud kalkulaatorid

Kombinatsioonid ja permutatsioonid

Arvuta kombinatsioonid, permutatsioonid ja faktoriaalid

Catalani arvude kalkulaator

Arvuta Catalani arve, mida kasutatakse kombinatoorikas ja binaarpuudes

Binoomkordaja kalkulaator

Arvuta binoomkordajaid C(n,k) koos Pascali kolmnurga visualiseerimise ja omadustega

Püsipunktita permutatsioonide kalkulaator | MathCalcLab | MathCalcLab