Korkeamman kertaluvun derivaatat
Laske toisen, kolmannen ja korkeamman kertaluvun derivaatat
Tulokset
Syötä arvot ja napsauta Laske nähdäksesi tuloksen.
Teoria ja kaava
Korkeamman kertaluvun derivaatat kuvaavat muutoksen muutoksen nopeutta. Toinen derivaatta mittaa koveruutta, kolmas derivaatta mittaa koveruuden muutoksen nopeutta, ja niin edelleen.
Notaatio
Korkeamman kertaluvun derivaattojen merkinnöille on useita vaihtoehtoja:
Toinen derivaatta (koveruus):
\(f''(x) = \frac{d^2f}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{df}{dx}\right)\)Kolmas derivaatta (nykäys fysiikassa):
\(f'''(x) = \frac{d^3f}{dx^3}\)n:s derivaatta:
\(f^{(n)}(x) = \frac{d^nf}{dx^n}\)Sovellukset
- Paikan toinen derivaatta antaa kiihtyvyyden fysiikassa
- Toinen derivaatta määrää funktion koveruuden (positiivinen = kovera ylöspäin)
- Kolmas derivaatta auttaa löytämään käännepisteet
- Korkeampia derivaattoja käytetään Taylorin sarjakehitelmissä
Esimerkki
Funktiolle f(x) = x⁴:
\(f(x) = x^4\)\(f'(x) = 4x^3\)\(f''(x) = 12x^2\)\(f'''(x) = 24x\)\(f^{(4)}(x) = 24\)\(f^{(5)}(x) = 0\)